Подобия теория, учение об условиях подобия физических явлений. Подобия теория опирается на учение о размерностях физических величин (см. Размерностей анализ) и служит основой моделирования физического. Предметом подобии теории является установление подобия критериев различных физических явлений и изучение с помощью этих критериев свойств самих явлений.

Физические явления, процессы или системы подобны, если в сходственные моменты времени в сходственных точках пространства значения переменных величин, характеризующих состояние одной системы, пропорциональны соответствующим величинам другой системы. Коэффициенты пропорциональности для каждой из величин называется коэффициентом подобия.

Физическое подобие является обобщением элементарного и наглядного понятия геометрического подобия. При геометрическом подобии существует пропорциональность (подобие) сходственных геометрических элементов подобных фигур или тел. При физическом подобии поля соответствующих физических параметров двух систем подобны в пространстве и времени. Например, при кинематическом подобии существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых движений; при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей различной физической природы (силы тяжести, силы давления, силы вязкости и т.п.); механическое подобие (например, подобие двух потоков жидкости или газа, подобие двух упругих систем и т.п.) предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобий; при подобии тепловых процессов подобны соответствующие поля температур и тепловых потоков; при электродинамическом подобии — поля токов, нагрузок, мощностей, поля электромагнитных сил. Все перечисленные виды подобия — частные случаи физического подобия.

С развитием исследований сложных физических и физико-химических процессов, включающих механические, тепловые и химические явления, развиваются и методы подобии теории для этих процессов, например, устанавливаются условия подобия процессов трения и износа деталей машин, кинетики физико-химических превращений и других явлений. Пропорциональность для подобных явлений всех характеризующих их параметров приводит к тому, что все безразмерные комбинации, которые можно составить из этих параметров, имеют для подобных явлений одинаковые численные значения. Безразмерные комбинации, составленные из определяющих параметров рассматриваемых явлений, называются критериями подобия. Любая комбинация из критериев подобия также представляет собой критерий подобия рассматриваемых физических явлений.

Если в рассматриваемых физических явлениях или системах существует равенство не всех, а лишь некоторых независимых критериев подобия, то говорят о неполном, или частичном, подобии. Такой случай наиболее часто встречается на практике. При этом существенно, чтобы влияние на протекание рассматриваемых физических процессов критериев, равенство которых не соблюдается, было незначительным или малосущественным.

Размерные физические параметры, входящие в критерии подобия, могут принимать для подобных систем сильно различающиеся значения; одинаковыми должны быть лишь безразмерные критерии подобия. Это свойство подобных систем и составляет основу моделирования.

Ниже более строго излагаются логические основы подобия теории. Предположим, что для описания изучаемых явлений употребляются r основных независимых единиц измерения A1, А2,..., Ar (например, в абсолютных системах единиц основными являются единицы длины L, массы М и времени T). Производные единицы измерения имеют вид: \(\style{font-family:'Times New Roman'}{Q=A_1^{p_1}A_2^{p_2}...A_r^{p_r}}\). Их размерность \(\style{font-family:'Times New Roman'}{\left[Q\right]=\left[A_1^{p_1}A_2^{p_2}...A_r^{p_r}\right]}\) характеризуется числовыми показателями p1, p2,..., pr. Каждая величина Х размерности [Х] = [Q] представляется в виде: X = xQ, где х — числовое выражение величины Х при выбранной системе основных величин A1, А2,..., Ar.

Пусть изучается класс явлений S, каждое из которых определяется заданием определённых значений системы величин {Yα}. Два таких явления S (1) и S (2) называются подобными, если значения величин Yα (2), характеризующие явление S(2) получаются из значений соответствующих величин Yα(1), характеризующих явление S(1) по формулам:

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{Y_\alpha^{(2)}=K_1^{p_1}K_2^{p_2}...K_r^{p_r}Y_\alpha^{(1)}},$$

где коэффициент подобия k1, k2,..., kr постоянны, а показатели p1, p2,..., pr определяются размерностью.

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{\left[Y_\alpha\right]=\left[A_1^{p_1}A_2^{p_2}...A_r^{p_r}\right]}$$

величин Yα.

Предположим, что из системы величин {Yα} выделена некоторая часть, образующая систему β} определяющих параметров, так что числовое значение yz любой величины Yα является функцией Yα = fα{xβ} числовых значений xβ величин Xβ и вид функциональных зависимостей fα остаётся одним и тем же при любом выборе основных единиц измерения A1, A2,..., Ar. В этом предположении основной принцип подобия теории может быть сформулирован следующим образом. Для подобия явлений S(1) и S(2) необходимо и достаточно, чтобы значения любой безразмерной комбинации

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{K=X_{\beta_1}^{q_1}X_{\beta_2}^{q_2}...X_{\beta_m}^{q_m}}, (1)$$

определяющих параметров в явлениях S(1) и S(2) были равны: k(1) = k(2).

Каждое безразмерное выражение k вида (1) называется критерием подобия. Очевидно, что при таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие параметры и все отношения вида:

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{K=X_{\beta_1}/X_{\beta_2}}, (2)$$

где \(\style{font-family:'Times New Roman'}{X_{\beta_1}}\) и \(\style{font-family:'Times New Roman'}{X_{\beta_2}}\) — определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k(1) = k(2) в применении к безразмерным параметрам и отношениям вида (2) очевидна непосредственно. Их можно называть тривиальными. Сами отношения k вида (2) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия k(1) = k(2) считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k(1) = k(2) имеется только s = n - r' независимых, где n — число различных размерностей величин системы β}, а r' — число независимых размерностей среди этих n размерностей. Так как всегда r' ≤ r, то s < n - r.

Например, геометрическая картина стационарного обтекания прямоугольной пластинки, помещенной в однородный неограниченный поток вязкой несжимаемой жидкости со скоростью на бесконечности, параллельной продольной стороне пластинки, определяется: 1) длиной пластинки l, 2) её шириной b, 3) скоростью потока на бесконечности υ, 4) кинематический коэффициент вязкости ν. Так как [b] = [l], [ν] = [υl], то среди трёх размерностей определяющих параметров имеются лишь две независимые, то есть r' = 2 и s = n - r' = 3 - 2 = 1. В соответствии с этим имеется один нетривиальный критерий подобия — число Рейнольдса Re = υl/ν. Кроме того, имеется один тривиальный критерий подобия b/l. Если исследуемые явления изучаются при помощи дифференциальных уравнений, то определяющие параметры появляются: 1) в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, 2) в виде коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к безразмерному виду в них остаются лишь безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями подобия.

Например, уравнения стационарного движения несжимаемой вязкой жидкости

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{\sum_i\upsilon_i\frac{d\upsilon_i}{dx_i}=-\frac1p\frac{dp}{dx_i}+\nu\sum\frac{d^2\upsilon_i}{dx_i^2}},$$

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{\sum_i\frac{d\upsilon_i}{dx_i}=0,\;i=1,\;2,\;3.}$$

(р — давление жидкости, υi — компоненты скорости, xi — декартовы координаты) приводятся к безразмерному виду преобразованием

xi = ξil, υi = ηiυ, p = ξρυ2

В новых переменных ξi, ηi, ξ уравнения имеют вид:

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{\sum_i\eta_i\frac{d\eta_i}{d\xi_i}=-\frac{d\xi}{d\xi_i}+\frac1{Pe}\sum_i\frac{d^2\eta_i}{d\xi_i^2}},$$

$$\style{font-family:'Times New Roman'}{\sum_i\frac{d\eta_i}{d\xi_i}=0,\;i=1,\;2,\;3.}$$

Практические применения подобия теории весьма обширны. Она даёт возможность предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров сложных физических явлений. подобия теория является основой для правильной постановки и обработки результатов экспериментов. В сочетании с дополнительными соображениями, полученными из эксперимента или из уравнений, описывающих физическое явление, подобия теория приводит к новым существенным результатам.

Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, 7 изд., М., 1972; Эйгенсон Л. С., Моделирование. М., 1952; Веников В. А., Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики, М., 1966; Кирпичев М. В. Теория подобия, М. 1953; Дьяконов Г. К., Вопросы теории подобия в области физико-химических процессов, М. — Л., 1956.