Сжатых отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. Сжатых отображений принцип применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение
Ax = х. (*)
Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Таким образом вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.
Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство
d (Ax, Ау) ≤ αd (х, у),
где символ d (u, υ) означает расстояние между точками u и υ метрического пространства М.
Сжатых отображений принцип утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями
xn = Axn-1, n = 1,2,...,
имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:
$$d\left(x_n,x\right)\leq\frac{\alpha^n}{1-\alpha}d\left(x_0,Ax_0\right)$$
Сжатых отображений принцип позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и других уравнений. В условиях применимости сжатых отображений принцип решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.
С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.
Смирнов В. И., Курс высшей математики (pdf) (djvu), том 5, М., 1959.
