Ударная волна

Ударная волна, физический процесс, скачок уплотнения, распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости вещества. Ударные волны возникают при взрывах, при сверхзвуковых движениях тел (см. Сверхзвуковое течение), при мощных электрических разрядах и так далее. Например, при взрыве ВВ (взрывчатых веществ) образуются сильно нагретые продукты взрыва, обладающие большой плотностью и находящиеся под высоким давлением. В начальный момент они окружены покоящимся воздухом при нормальной плотности и атмосферном давлении. Расширяющиеся продукты взрыва сжимают окружающий воздух, причём в каждый момент времени сжатым оказывается лишь воздух, находящийся в определённом объёме; вне этого объёма воздух остаётся в невозмущённом состоянии. С течением времени объём сжатого воздуха возрастает. Поверхность, которая отделяет сжатый воздух от невозмущённого, и представляет собой ударную волну (или, как говорят, — фронт ударной волны).

Классический пример возникновения и распространения ударной волны — опыт по сжатию газа в трубе поршнем. Если поршень вдвигается в газ медленно, то по газу со скоростью звука а бежит акустическая (упругая) волна сжатия. Если же скорость поршня не мала по сравнению со скоростью звука, возникает ударная волна. Скорость распространения ударной волны по невозмущённому газу u_в = (X_ф2 – X_ф1) /(t₂ –t₁) (рис. 1) больше, чем скорость движения частицы газа (так называемая массовая скорость), которая совпадает со скоростью поршня u = (X_п2 – X_п1) /(t₂ –t₁). Расстояния между частицами в ударной волне меньше, чем в невозмущённом газе, вследствие сжатия газа. Если поршень сначала вдвигают в газ с небольшой скоростью и постепенно ускоряют, то ударная волна образуется не сразу. Вначале возникает волна сжатия с непрерывными распределениями плотности ρ и давления P. С течением времени крутизна передней части волны сжатия нарастает, так как возмущения от ускоренно движущегося поршня догоняют её и усиливают, вследствие чего возникает резкий скачок всех гидродинамических величин, то есть возникает ударная волна.

Законы ударного сжатия.

При прохождении газа через ударную волну его параметры меняются очень резко и в очень узкой области. Толщина фронта ударной волны имеет порядок длины свободного пробега молекул, однако при многих теоретических исследованиях можно пренебречь столь малой толщиной и с большой точностью заменить фронт ударной волны поверхностью разрыва, считая, что при прохождении через неё параметры газа изменяются скачком (отсюда название «скачок уплотнения»). Значения параметров газа по обе стороны скачка связаны следующими соотношениями, вытекающими из законов сохранения массы, импульса и энергии:

ρ₁u₁ = ρ₀u₀P₁ + ρ₁u₁² = P₀ + ρ₀u₀²,

ε₁ + P₁ / ρ₁ + u₁² / 2 = ε₀ + P₀ / ρ₀ + u₀² / 2, (1)

где P₁ — давление, ρ₁ — плотность, ε₁ — удельная внутренняя энергия, u₁ — скорость вещества за фронтом ударной волны (в системе координат, в которой ударная волна покоится), а P₀, ρ₀, ε₀, u₀ — те же величины перед фронтом. Скорость u₀ втекания газа в разрыв численно совпадает со скоростью распространения ударной волны u_В по невозмущённому газу. Исключая из равенств (1) скорости, можно получить уравнения ударной адиабаты:

ε₁ — ε₀ = (P₁ + P₀) (V₀ — V₁),

 ω₁ — ω₀ = (P₁ — P₀) (V₀ + V₁), (2)

где V = 1/ρ — удельный объём, ω = ε + P /ρ — удельная энтальпия. Если известны термодинамические свойства вещества, то есть функции ε(P,ρ) или ω(P, ρ), то ударная адиабата даёт зависимость конечного давления p₁ от конечного объёма V₁ при ударном сжатии вещества из данного начального состояния P₀, V₀, то есть зависимость P₁ = H (V₁, P₀, V₀).

При переходе через ударную волну энтропия вещества S меняется, причём скачок энтропии S₁ — S₀ для данного вещества определяется только законами сохранения (1), которые допускают существование двух режимов: скачка сжатия (ρ₁ > ρ₀, P1 > P0) и скачка разрежения (ρ₁ < ρ₀, P₁ < P₀). Однако в соответствии со вторым началом термодинамики реально осуществляется только тот режим, при котором энтропия возрастает. В обычных веществах энтропия возрастает только в ударной волне сжатия, поэтому ударной волне разрежения не реализуется (теорема Цемплена).

Ударная волна распространяется по невозмущённому веществу со сверхзвуковой скоростью u ₀ > a₀ (где a₀ — скорость звука в невозмущённом веществе) тем большей, чем больше интенсивность ударной волны, то есть чем больше (P₁ — P₀)/ P₀. При стремлении интенсивности ударной волны к 0 скорость её распространения стремится к a₀. Скорость ударной волны относительно сжатого газа, находящегося за ней, является дозвуковой: u₁ < a₁ (a₁ — скорость звука в сжатом газе за ударной волны).

Рис. 1. Движение поршня, распределение плотности и местоположение ударной волны (схема).

Рис. 2. Ударная адиабата
и
адиабата Пуассона.

Рис. 3. Распределение скорости,
давления, энтропии
в вязком скачке уплотнения.

Ударная волна в идеальном газе с постоянной теплоёмкостью.

Это наиболее простой случай распространения ударной волны, так как уравнение состояния имеет предельно простой вид: ε = P /ρ(γ—1), P = RρT /μ, где γ = C_p/C_v — отношение теплоёмкостей при постоянных давлении и объёме (так называемый показатель адиабаты), R — универсальная газовая постоянная, μ — молекулярный вес. Уравнение ударной адиабаты можно получить в явном виде:

$$\frac{P_1}{P_0}=\frac{(\gamma+1)V_0-(\gamma-1)V_1}{(\gamma+1)V_1-(\gamma-1)V_0},\;\left(3\right)$$

Ударная адиабата, или адиабата Гюгоньо Н, отличается от обычной адиабаты Р (адиабаты Пуассона), для которой P₁/P₀ = (V₀/V₁)^γ (рис. 2). При ударном сжатии вещества для данного изменения V необходимо большее изменение P, чем при адиабатическом сжатии. Это является следствием необратимости нагревания при ударном сжатии, связанного, в свою очередь, с переходом в тепло кинетической энергии потока, набегающего на фронт ударной волны. В силу соотношения u₀² = V₀²(P₁- P₀) / (V₀ — V₁), следующего из уравнений (1), скорость ударной волны определяется наклоном прямой, соединяющей точки начального и конечного состояний (рис. 2).

Параметры газа в ударной волне можно представить в зависимости от Маха числа М = u_в /а₀

$$\frac{V_0}{V1}=\frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{\nu_e}{\nu_1}=\frac{(\gamma+1)M^2}{(\gamma-1)M^2+2},$$

$$\frac{p_1}{p_0}=\frac{2\gamma}{\gamma+1}M^2\;\frac{\gamma-1}{\gamma+1},\;\left(4\right)$$

$$\frac{T_1}{T_0}=\frac{\left[2\gamma M^2-\left(\gamma-1\right)\right]{\displaystyle\left[\left(\gamma-1\right)M^2+2\right]}}{{\displaystyle\left(\gamma+1\right)^2}{\displaystyle{\displaystyle M}^2}}$$

В пределе для сильных ударных волн при М → ∞; P₁/P₀ → ∞ получается:

$$\frac{\rho_1}{\rho_0}=\frac{\gamma+1}{\gamma-1},\;p_1=\frac2{\gamma+1}\rho_0\nu_e^2,$$

$$\nu_1=\frac{2\nu_e}{\gamma+1},\;T_1\frac{2\left(\gamma-1\right)\nu_e^2\mu}{\left(\gamma+1\right)^2R}$$

Таким образом, сколь угодно сильная ударная волна не может сжать газ более чем в (γ + 1)/(γ — 1) раз. Например, для одноатомного газа γ = и предельное сжатие равно 4, а для двухатомного (воздух) — γ = и предельное сжатие равно 6. Предельное сжатие тем выше, чем больше теплоёмкость газа (меньше γ).

Вязкий скачок уплотнения.

Рис. 4. Распределение температуры и плотности в ударной волне.

Необратимость ударного сжатия свидетельствует о наличии диссипации механической энергии во фронте ударной волны. Диссипативные процессы можно учесть, приняв во внимание вязкость и теплопроводность газа. При этом оказывается, что сам скачок энтропии в ударной волне не зависит ни от механизма диссипации, ни от вязкости и теплопроводности газа. Последние определяют лишь внутреннюю структуру фронта волны и его толщину. В ударной волне не слишком большой интенсивности все величины — u, P, ρ и Т монотонно изменяются от своих начальных до конечных значений (рис. 3). Энтропия же S меняется не монотонно и внутри ударной волны достигает максимума в точке перегиба скорости, то есть в центре волны. Возникновение максимума S в волне связано с существованием теплопроводности. Вязкость приводит только к возрастанию энтропии, так как благодаря ей происходит рассеяние импульса направленного газового потока, набегающего на ударную волну, и превращение кинетической энергии направленного движения в энергию хаотического движения, то есть в тепло. Благодаря же теплопроводности тепло необратимым образом перекачивается из более нагретых слоев газа в менее нагретые.

Ударная волна в реальных газах.

В реальном газе при высоких температурах происходят возбуждение молекулярных колебаний, диссоциация молекул, химические реакции, ионизация и так далее, что связано с затратами энергии и изменением числа частиц. При этом внутренняя энергия ε сложным образом зависит от P и ρ и параметры газа за фронтом ударной волны можно определить только численными расчётами по уравнениям (1), (2).

Для перераспределения энергии газа, сжатого и нагретого в сильном скачке уплотнения, по различным степеням свободы требуется обычно очень много соударений молекул. Поэтому ширина слоя Δх, в котором происходит переход из начального в конечное термодинамически равновесное состояние, то есть ширина фронта ударной волны, в реальных газах обычно гораздо больше ширины вязкого скачка и определяется временем релаксации наиболее медленного из процессов: возбуждения колебаний, диссоциации, ионизации и так далее. Распределения температуры и плотности в ударной волне при этом имеют вид, показанный на рис. 4, где вязкий скачок уплотнения изображен в виде разрыва.

В ударной волне, за фронтом которых газ сильно ионизован или которые распространяются по плазме, ионная и электронная температуры не совпадают. В скачке уплотнения нагреваются только тяжёлые частицы, но не электроны, а обмен энергии между ионами и электронами происходит медленно вследствие большого различия их масс. Релаксация связана с выравниванием температур. Кроме того, при распространении ударной волны в плазме существенную роль играет электронная теплопроводность, которая гораздо больше ионной и благодаря которой электроны прогреваются перед скачком уплотнения. В электропроводной среде в присутствии внешнего магнитного поля распространяются магнитогидродинамические ударные волны. Их теория строится на основе уравнений магнитной гидродинамики аналогично теории обычных ударных волн.

При температурах выше нескольких десятков тысяч градусов на структуру ударных волн существенно влияет лучистый теплообмен. Длины пробега световых квантов обычно гораздо больше газокинетических пробегов, и именно ими определяется толщина фронта. Все газы непрозрачны в более или менее далёкой ультрафиолетовой области спектра, поэтому высокотемпературное излучение, выходящее из-за скачка уплотнения, поглощается перед скачком и прогревает несжатый газ. За скачком газ охлаждается за счёт потерь на излучение. В этом случае ширина фронта — порядка длины пробега излучения (~ 10² — 10^-1 см в воздухе нормальной плотности). Чем выше температура за фронтом, тем больше поток излучения с поверхности скачка и тем выше температура газа перед скачком. Нагретый газ перед скачком не пропускает видимый свет, идущий из-за фронта ударной волны, экранируя фронт. Поэтому яркостная температура ударной волны не всегда совпадает с истинной температурой за фронтом.

Ударная волна в твёрдых телах.

Энергия и давление в твёрдых телах имеют двоякую природу: они связаны с тепловым движением и с взаимодействием частиц (тепловые и упругие составляющие). Теория между частичных сил не может дать общей зависимости упругих составляющих давления и энергии от плотности в широком диапазоне для разных веществ и, следовательно, теоретически нельзя построить функцию ε(P /ρ). Поэтому ударные адиабаты для твёрдых (и жидких) тел определяются из опыта или полуэмпирически. Для значительного сжатия твёрдых тел нужны давления в миллионы атмосфер, которые сейчас достигаются при экспериментальных исследованиях. На практике большое значение имеют слабые ударные волны с давлениями 104 — 105 атм. Это давления, которые развиваются при детонации, взрывах в воде, ударах продуктов взрыва о преграды и так далее. Повышение энтропии в ударных волнах с такими давлениями невелико, и для расчёта распространения ударной волны обычно пользуются эмпирическим уравнением состояния типа P = А [(ρ/ρ₀) n^-1], где величина А, вообще говоря, зависящая от энтропии, так же, как и n, считается постоянной. В ряде веществ — железе, висмуте и других в ударной волне происходят фазовые переходы — полиморфные превращения. При небольших давлениях в твёрдых телах возникают упругие волны, распространение которых, как и распространение слабых волн сжатия в газах, можно рассматривать на основе законов акустики.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1953; Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений, 2 изд., М., 1966; Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И., Релаксационные процессы в ударных волнах, М., 1965.